μαθηματικά παράδοξα

Ø Να υπολογίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x)= εφ(π/4 + χ) και g(x)= σφχ – 1

Π.ο. Α = R\ {κπ+π/4 : κ Î Ζ } και Β = R\ {κπ : κ Î Ζ } αντίστοιχα.
Οι τετμημένες των ζητουμένων σημείων τομής , προκύπτουν από τις λύσεις της εξίσωσης f(x)= g(x) με χ Î Α Ç Β = R\ {κπ : κ Î Ζ }
Άρα
εφ(π/4 + χ) = σφχ – 1 Û (1+ εφ χ) /( 1-εφχ) = (1/εφχ ) –1 Û

3εφχ =1 Û εφχ = 1/3 Û χ = κπ+θ , κ ÎΖ , όπου εφθ = 1/3
για χ = κπ +θ , g ( κπ+θ) = σφ (κπ+θ) –1= 1/εφθ - 1=2

τα σημεία τομής είναι τα (κπ+θ , 2) κ ÎΖ
το παράδοξο είναι , ότι για χ=π/2 η εξίσωση f(x)= g(x), προφανώς επαληθεύεται, ενώ το κοινό σημείο (π/2 , -1) δεν βρέθηκε !!!

που είναι το λάθος ; οεο ;


Ø Α) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = ex + lnx , x Î[1,3] παρουσιάζει ελάχιστο στο 1.
Β) να εξετάσετε αν υπάρχει κ >0 ώστε η συνάρτηση g(x) = kex + lnx , xÎ[1,3], να παρουσιάζει ελάχιστο στο 1.

Α) " xÎ[1,3] f΄ (x) >0 άρα f γνησίως αύξουσα οπότε " xÎ[1,3] 1£ χ £ 3 Û
f(1)£ f(x)£ f(3), δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 1.

Β) " xÎ[1,3] g΄(x)= kex +1/x . Η g παρουσιάζει στο 1 ελάχιστο και είναι παραγωγίσιμη στο 1 , άρα με εφαρμογή του θεωρήματος fermat προκύπτει
g΄(1)=0 Û ke+1 = 0 Û k= -1/e á 0 , πράγμα άτοπο αφού κ > 0 .
άρα δεν υπάρχει κ τέτοιο ώστε η g να παρουσιάζει ελάχιστο στο 1.
Το παράδοξο προκύπτει από το (α) ερώτημα , όπου διαπιστώσαμε ότι για κ=1 >0, η g παρουσιάζει ελάχιστο στο 1. που είναι το λάθος